奉贤区头桥中学：唐丹丹
摘要
本文是八年级《勾股定理的逆定理》这节课中有关几何定理的生成过程的研究。从第一次的画图操作引入，到第二次的两个问题的对比引入，到第三次的在两个问题对比引入的基础上，由具体到一般探究定理的生成过程，三次探究情境的修改从学生的已有知识与认知水平出发，精心创设定理产生、发现与发展的情境，为学生建立知识生成的探究学习过程，引导学生去探索，发现定理，通过观察、猜想、操作和论证等一系列活动，最终获得几何定理的过程。从原来的学生被动接受，到最后提供给学生充分进行数学实践活动的情境，使学生由课堂上的旁观者真正变成了一个参与者。
关键词
合理 探究情境 定理生成
正文
一、研究背景
在几何定理的教学中，存在这样的状况：教学中不讲知识的来龙去脉，不关注定理的探究形成过程，教师不敢放手让学生自主探究去获得定理，而是将结论过早地或直接塞给学生，或只是提供一个探究表象根本没有实施探究行动，或者是没有明确的探究指向，学生的探究得不到有效引导，使几何定理的探究出现“伪探究”，学生也慢慢地习惯于不思考，没有探究意识，只是被动地接受知识，忽视结论的形成，忽视定理的生成过程。教学中只注重了几何定理的运用，注重的只是结果，而忽略了学生学习的过程与体验。因此，作为数学教师一定要抓住几何定理教学这个平台，从学生的已有知识与认知水平出发，精心创设定理产生、发现与发展的情境，为学生建立知识生成的探究学习过程，引导学生去探索，去发现定理，通过观察、猜想、操作和论证等一系列活动，最终获得几何定理的过程。下面以《勾股定理的逆定理》这一课例的研究来探讨如何创设合理的探究情境，关注几何定理的生成。
二、教学实例
1、教学内容分析
《勾股定理的逆定理》是八年级第一学期勾股定理的第三课时，是在学习了直角三角形性质，勾股定理及其应用的基础上学习勾股定理的逆定理，它是直角三角形的判定定理，既是前面知识的深化和延伸，也是判断一个三角形是直角三角形的重要方法之一，在今后的解题过程中有着广泛的应用，渗透了应用代数方法解决几何问题的思想，因此本节内容在几何教学中具有非常重要的作用。课的设计通过学生观察和操作等活动获取几何定理，在学生已有认知的基础上给学生足够的时间和空间参与到定理的探究生成过程。
2、教学设计的三次修改过程
第一次教学预设
通过画四个已知三边长的三角形（其中一个锐角三角形，一个钝角三角形，两个直角三角形），测量最大角的度数感知已知三边的长，三角形的形状、大小就唯一确定，从中猜测三角形的三边之间有怎样的关系时，这个三角形是直角三角形，以讨论合作等方式通过构造三角形完成对定理的证明。通过猜想-验证-归纳的数学研究方法得到勾股定理的逆定理。
第一次课堂教学实录片段
（一）情景引入
教师：已知三角形的三边长，能否画出这个三角形？（学生都说能）
教师：以小组为单位画三角形,使三角形的三边分别为
（1）3cm，4cm，5cm （2）3cm，4cm，6cm
（3）3cm，4cm，4cm （4）2.5cm，6cm，6.5cm （学生动手画三角形）
教师：测量上述各三角形最大角的度数，判断三角形的形状。
教师：根据每个三角形所给的各组边长，有什么发现？
（学生没有了方向，一下子蒙了，答不出。教师需要的结论没有顺利得出，教师再次追问三角形的三边之间有怎样的关系时，这个三角形是直角三角形？学生仍无法想到平方关系，在教师帮助提示下引向平方关系，才得到如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。）
（二）定理证明
教师：试着对这个结论的正确性进行说理证明。
（直接将问题抛给学生，让学生去合作交流，可是学生无从下手，不知所措，只能在老师的引导下，由老师直接告知构造一个直角三角形，使这个构造的直角三角形的两条直角边与已知三角形两条较小边相等，证明这两个三角形全等，从而得到三边具有这种特殊关系的三角形是直角三角形。证明过程采用师生合作方式，学生说教师写且不断引导学生应该如何书写完成证明过程。）
第一次课堂教学后的反思
对于引入环节，让学生通过画图，测量去观察，猜想勾股定理的逆定理，看似是让学生动手操作，参与定理的探究，实际上学生根本没有思维投入，根本不理解教师意图，以至于发现不了三角形的这种三边关系，学生没有思考的方向，只能由教师直接呈现结论，说明这样的引入操作没有对我们探究定理的形成起到作用，却花费了太多的时间，足足用了15分钟，对于定理的证明也几乎都是老师硬拽着学生走的，没有顾及到学生的认知，根本没能落实学生亲自参与、自主探索定理的生成过程。怎样的情境设计才能关联到学生已有的知识与认知规律，才能很自然的引导学生发现三边的这种平方关系，猜想出结论，对于定理的证明怎样的阶梯铺设才能使学生能够想到去构造一个三角形，这些都是我需要修改的地方。
因此对本节课的设计进行了以下修改，将引入改为：问题1求直角三角形斜边长复习勾股定理，问题2将条件与结论对换已知三边长判断三角形的形状，通过这样的一个比较让学生初步感知三角形三边之间满足怎样的关系时，三角形是直角三角形，同时又为下面逆定理的证明要构造三角形打下伏笔。
第二次课堂教学实录片段
（一）情景引入
教师：已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，求AB。
（学生都能利用勾股定理求得AB=5，教师板演AB2=AC2+BC2=32+42=52）
教师：已知一个三角形三边长分别为3、4、5，判断三角形的形状。
（学生异口同声得到直角三角形）
教师：三角形的三边之间有怎样的数量关系时，这个三角形是直角三角形？
（小部分学生能发现：32+42=52，并且能带动其他同学，使他们有认同感，由具体到抽象猜想结论，如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。）
（二）定理证明
教师：试着对这个结论的正确性进行说理证明。
（学生还是很难想到构造三角形，前面的问题铺设学生未能领会教师的意图，在教师的提示下，通过比较引入的两个问题如何说明问题2的三角形是直角三角形的思考，联想到构造一个直角三角形，使这个直角三角形的两条直角边与已知三角形两条较小边相等，证明这两个三角形全等，从而得到三边具有这种特殊关系的三角形是直角三角形。证明过程采用先分析，再整理，再由学生完成说理过程。）
第二次课堂教学后的反思
经过第二次的课堂实践发现这次上课的引入比第一次要顺畅许多，对于结论的猜想能够由学生自主得到，并能很好的发挥同学合作学习的作用，使其他没有发现的学生在同学的带领下能归纳猜想结论，但对于结论的证明，学生仍想不到要构造一个三角形，在老师的提示引导下通过回归引入问题2如何说明三角形是直角三角形的思考，才想到要去构造一个三角形，这里花费了很长时间，说明引入的两个问题的设置并未能达到教师预想的效果。对于如何构造，学生一下子对于这个字母形式的一般三角形也不会表达，说明对于定理生成所设置的情境不是很合理，没能站在学生已有的知识与认知水平、认知规律基础上充分考虑，结果是没有充足的时间完成教学。
因此为了使在定理的证明中，学生能自然想到要构造一个三角形，也会表达如何构造，将本课进行了第二次修改，在引入两个问题的基础上，增加了对这个三角形是直角三角形证明，自然引入构造法，为接下来勾股定理逆定理的证明铺设阶梯，在此基础上再去猜想结论，仍采用“情景引入——观察——猜想——论证”过程探究勾股定理的逆定理，让学生体验几何定理的探究生成过程。
第三次课堂教学实录片段
（一）情景引入
问题1：已知Rt△A1B1C1中，∠C1=90°，A1C1=3，B1C1=4，求A1B1的长。
问题2：已知△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则△ABC与△A1B1C1有什么特点
（两个三角形全等，∠C=∠C1=90°）
教师：如何证明∠C=90°？（证明两个三角形全等，学生简述一下全等理由）
教师：如果没有问题1只给出问题2的三边长证明∠C=90°，如何证明？
学生：需要有一个问题1的直角三角形，证明两个三角形全等。
教师：现在这样的三角形没有，怎么办？
学生：作一个直角三角形？
教师：如何作这个三角形？
（同学之间合作交流后，汇报交流结果，采用师生合作方式，学生说教师在黑板上作出三角形，并写出证明过程）
问题3：猜想：三角形的三边之间有怎样的数量关系时，这个三角形是直角三角形？
（在上述问题基础上学生都能归纳得到猜想）
（二）定理证明
教师：试着对这个结论的正确性进行说理证明。
（学生很自然的联想到要构造一个直角三角形，证明这两个三角形全等，证明过程请学生在前面证明过程的基础上修改，学生也会表述如何构造很顺利的完成了对勾股定理的逆定理的证明）
学生：老师，构造直角三角形不只有使这个直角三角形的两条直角边与已知三角形两条较小边相等，也可以使这个直角三角形的斜边与已知三角形的最长边相等，一条直角边与已知三角形的另一条边相等。（对于学生的这个构造方法师生都表示赞同，说明学生学会了构造法，真正理解了定理的证明方法）
第三次课堂教学后的反思
通过三次的上课反思，我对于几何定理的教学有了进一步的认识，教学设计也得到具体的实践和应用，要设置符合学生已有知识与认知水平的探究情境，才能让学生真正参与几何定理的生成过程，把时间还给学生，把空间留给学生，得到问题的顺利解决。并且比较上两次的教学来看，学生的思维得到了扩展，不仅可以解决问题，还能去发现多种构造方法。说明学生真正理解方法，真正落实了学生自主参与定理的探究生成过程。
三、教学体会
通过三次的课堂教学实践与反思发现几何定理教学需要落实好定理的探究生成过程，如何设置探究情境，需要教师充分认识学生的已有知识、认知水平及认知规律，注重学生自主地参与定理形成全过程，不仅使学生掌握知识，而是让学生对知识有所感悟。
美国著名的教育心理学家奥苏伯尔在《教育心理学》一书中指出“影响学习的最重要的因素是学生已经知道了什么，应当根据学生原有的知识状况进行教学。”也就是说，学生不是一张白纸，他们已具有一定的认知发展水平和知识经验，学生已有的知识、经验、兴趣才是探究的起点，找准探究起点，设置符合新知识的生长迁移的探究情境，才能帮助学生实现自主参与知识的生成过程。引入部分从第一次的画三角形，到后面的已知两直角边长求斜边长复习勾股定理，通过互换条件与结论，对已知具体三边长的三角形是直角三角形的猜想证明，进而猜想一般的三角形当三边满足怎样的数量关系时这个三角形是直角三角形，采用这样由具体到抽象的问题情境，使学生很自然得到猜想：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，也自然会想到去构造三角形达到验证结论的目的。设计的探究情境，不只是为了探究而表面动一动，第一次设计的让学生参与的画图操作，看似学生是起来动了，实际上这样的情境根本没有达到探究目的，没能对定理的形成起到作用，而后来采用的情境从学生已有的认知出发（学生已学习过勾股定理），从新旧知识间的联系出发（勾股定理与逆定理是互逆定理的关系，他们的题设与结论是互换的），找到学生的最近发展区，关注新知的生长点、生长过程（由具体到抽象），使研究问题的指向明确了，让学生能自主参与到定理的形成过程。正如印度哲学家奥修说过，当鞋合脚时，脚就被忘记了。创设的情境，就像给脚提供合适的鞋一样，当我们能从学生的实际出发，立足于学情，为学生创设合理的探究情境，才能让学生自主充分地参与到知识的生成过程，最终获得几何定理，从原来的学生被动接受，到最后提供给学生充分进行数学实践活动的情境，使学生由课堂上的旁观者真正变成了一个参与者。
